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Desigualdades

Si a, b son números reales decimos que a “es menor que” b y se representa a <> b cuando b < a =" b;"> b significa que a > b ó a = b.
Vemos por lo tanto que un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo si y sólo sí es menor que 0.
Nota Los axiomas se llaman de orden porque si consideramos la relación menor o igual en base a la definición anterior se obtiene una relación que cumple las condiciones de relación de orden. Incluso es un orden total.
De manera análoga como se vio después de los primeros seis axiomas, de aquí se pueden desprender todas las propiedades de desigualdades y de orden de los números reales. Resumimos las principales en el siguiente teorema.
TeoremaPropiedades básicas de desigualdades.
Si a, b y c son números reales entonces:
I) Ley de tricotomía. Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: a <> b , a = b

II) Propiedad aditiva: a < b =""> a + c <>

III) Primera propiedad multiplicativa: a <> 0 ⇒ ac <>

IV) Segunda propiedad multiplicativa: a <> bc

V) a ≠ 0

a2>0

vI) 1 > 0

vII) a <> -a

VI) a <> 0

IX) ab > 0 ⇒ ambos son positivos ó ambos son negativos

X) ab <

XI) a > 0 ⇒ 1/a >0

xII) a <> a+c <>

Demostración:
a < b =""> b-a > 0 por definición de < a =" b-a">

= b-a + c+(-c) axioma 6

= b+(-a) + c + (-c) definición de resta

= b + c + (-a)+(-c) axioma 2

= b +c - (a + c) inverso aditivo de una suma, directo utilizando la definición de resta

=> a + c <>

Desigualdades.
Así como usamos los primeros seis axiomas para resolver ecuaciones, de forma análoga podremos usar los axiomas de orden para desigualdades. Como ya hemos insistido un buen comienzo para entender un tema es conocer los conceptos con los que trabajamos, así que empezaremos por establecer el concepto de desigualdad.
Si una proposición numérica abierta con una variable se puede expresar utilizando alguno de los cuatro símbolos siguientes <, >, < ó >; le llamamos desigualdad abierta o simplemente desigualdad.
Y resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de valores para la cual la proposición resulta verdadera.
Ejemplo 1.10 Resolver la desigualdad 2x ?1 > 5.

Solución:
2x ? 1 > 5 =>
2x ? 1 + 1 > 5 + 1 =>
2x > 6 =>
x > 3
por lo que el conjunto solución será {x : x > 3}, hacemos notar que los pasos se podrían hacer a la inversa por lo que la desigualdad 2x?1>5 es equivalente a la desigualdad x>3, por lo que la solución es la correcta. Sería más conveniente sustituir los símbolos => por <=>.
Para poder expresar mejor la solución de una desigualdad numérica es conveniente asociar cada número real con un punto sobre una recta, llamada recta numérica. Escogemos 0 como un punto cualquiera de la recta y los enteros equidistantes a la derecha del 0 los positivos y los negativos a la izquierda, los racionales en forma proporcional de manera que un número mayor que otro esté siempre a la derecha

Desigualdades con valor adsoluto

En general, para resolver desigualdades con valor absoluto debemos utilizar las propiedades y métodos aprendidos anteriormente (suma, resta, multiplicación y división). Básicamente, el conjunto solución de una
desigualdad con valor absoluto debe ser calculado utilizando dos posibilidades (por definición de valor absoluto) que cumplan con lo establecido, ejemplo: Si x > k , donde k > 0, entonces en el conjunto solución se incluyen todas las coordenadas en la línea que son mayores de k unidades del origen.

Desigualdades con Valor Absoluto

como x da la distancia entre un numero x y el origen, la solucion de la desigualdad x

por otra parte, la solucion de la desigualdad x›b es el conjunto de los numeros reales que estan a una distancia mayor que b unidades respecto al origen entonces:
x›b si y solo si x›b o bien x←b

__(_________)____ ____)_________(_____ -b 0 b -b 0 b
x‹b x›b
los resultados anteriores son validos cuando <> se sustituyen por <= y >=, respectivamente y cuando x se remplaza con x-a, por eljemplo :
x-a<=b, si b›0 representa el conjunto de numeros reales x cuya distancia al numero, si a es menor o igual que b unidades.

---- ¨b unidades

____[_________]_______ a-b a a+b
Ejemplos:
x-1<3>

se quita el simbolo de valor absoluto y se pasa el valor del otro lado con signo negativo,quedando asi;
−3

la solucion es el intervalo abierto (−2,4)
x›2
se entiende rapidamente que
x>2 o bien x←2

la socion queda en la union de los intervalos (-ƒ¿,−2)u(2,ƒ¿)
0‹x-2<=7

la desigualdad dada significa que 0‹x-2 y x-2<=7 en el primer caso 0‹x-2 es verdadero para todo los numeros exepto x=2 el segundo caso tiene que: −7<=x-2<=7 -7+2<=x-2+2<=7+2 -5<=x<=9

el resultado de esta es el intervalo cerrado de [−5,9] que satisface el resultado de la otra desigualdad que acepta a todos lo numeros exepto el 2 asi que uniendo estos resultados el conjunto solucion seria:
[−5,2)U(2,9]

Desigualdades lineales

Las desigualdades lineales se resuelven exactamente como las igualdades, con una importante excepción: al multiplicar o dividir por una cantidad negativa, el signo de desigualdad se invierte.

El conjunto solución lo escribimos así: S = ]-¥, -13/7]

El conjunto solución lo escribimos así: S = ]-¥, 3/8[

El conjunto solución lo escribimos así: S = ]30/17, +¥[

Aplicaciones de desigualdades

1. Un artesano hace adornos de madera, caballitos que le cuestan $ 3.00 y elefantes que le cuestan $ 8.00. Si tiene 120 pesos para la materia prima, marcar la región donde se encuentran las cantidades de adornos que puede hacer.

Solución:
3x + 8y £ 120, x ³ 0, y ³ 0

2. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $250 y el de mano de obra de $4. El gasto general, sin importar el volumen de ventas, es de $5000. Si el precio para un mayorista es de $740 por unidad, determine el número mínimo de unidades que debe ser vendido para que la compañía obtenga utilidades.

Solucion:

x> 10.3, x> 11 unidades

3. Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre los costos de comprar y rentar un automóvil. Ella puede rentar un automóvil por US$400 mensuales (con una base anual). Bajo este plan el costo por milla (gasolina y aceite) es de US$0.10. Si comprase el carro, el gasto fijo anual sería de US$3000 más US$0.18 por milla. ¿Cuál es el menor número de millas que deberá conducir por año para que la renta no sea más cara que la compra?

Solucion:

x > 22,500 millas

Matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A-1, con la propiedad

AA-1 = A-1A = I.

Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.

En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación

AX = B

multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A-1, que nos da

X = A-1B.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

1	2	4	x	=	1
2	4	6	y		1
4	6	8	z		-1

tiene la solución

x	=	1	2	4	¹	1
y		2	4	6		1
z		4	6	8		-1
	=	1	-2	1		1
		-2	2	-1/2		1
		1	-1/2	0		-1
	=	-2	.
		1/2
		1/2

Determinar si una matriz es invertible

Para determinar si una matriz n×n A es invertible o no, y encontrar A¹ si existe, escriba la matriz n×(2n) [A | I] (esta es A con la matriz unidad n×n a su lado).

Reduzca esta matriz hasta a la forma escalonada reducida.

Si la forma reducida es [I | B] (es decir, tiene la matriz unidad en la parte izquierda), entonces A es invertible y B = A^-1. Si no puedes obtener I en la parte izquierda, entonces A es singular.

Ejemplos

La matriz

A =	1	2	4
	2	4	6
	4	6	8

es invertible. La matriz

B =	1	2	4
	2	4	6
	2	4	7

es singular.

Inversa de una matriz 2×2

La matriz 2×2

A =		a	b
		c	d

es invertible si ad - bc no es cero y es singular si ad - bc = 0. El número ad - bc se llama el determinante de la matriz. Cuando la matriz es invertible su inversa se expresa por la formula

A¹ =