♥•.•´¨`'°ºoO ♥ Ooº°'´¨`•.•♥Matriz inversa♥•.•´¨`'°ºoO ♥ Ooº°'´¨`•.•♥

Matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A-1, con la propiedad

AA-1 = A-1A = I.

Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.

En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación

AX = B

multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A-1, que nos da

X = A-1B.


Ejemplo

El sistema de ecuaciones

	1	2	4			x		=		1
	2	4	6			y				1
	4	6	8			z				-1

tiene la solución

	x		=		1	2	4		1		1
	y				2	4	6				1
	z				4	6	8				-1
			=		1	-2	1				1
					-2	2	-1/2				1
					1	-1/2	0				-1
			=		-2	.
					1/2
					1/2

Determinar si una matriz es invertible

Para determinar si una matriz n×n A es invertible o no, y encontrar A¹ si existe, escriba la matriz n×(2n) [A | I] (esta es A con la matriz unidad n×n a su lado).

Reduzca esta matriz hasta a la forma escalonada reducida.

Si la forma reducida es [I | B] (es decir, tiene la matriz unidad en la parte izquierda), entonces A es invertible y B = A^-1. Si no puedes obtener I en la parte izquierda, entonces A es singular.

Ejemplos

La matriz

A =		1	2	4
		2	4	6
		4	6	8

es invertible. La matriz

B =		1	2	4
		2	4	6
		2	4	7

es singular.

Inversa de una matriz 2×2

La matriz 2×2

A =		a	b
		c	d

es invertible si ad - bc no es cero y es singular si ad - bc = 0. El número ad - bc se llama el determinante de la matriz. Cuando la matriz es invertible su inversa se expresa por la formula

A1 =

1 ad - bc

d

-b

Ejemplo

	1	2		1	=	1 (1)(4) - (2)(3)		4	-2
	3	4						-3	1

=		-2	1		.
		3/2	-1/2